Descrição

AULA PRÁTICA 1 MODELAGEM E CONTROLE DE SISTEMAS AVANÇADOS

Disciplina: Modelagem e controle de sistemas avançados
ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 1
Unidade: Controle digital aplicado.
Aula: 2 – Análise de sistemas de controle em tempo discreto

Software Octave

Acesso on-line
Livre

Infraestrutura

Computador com sistema operacional Windows 10, Windows 11, Linux ou macOS.
Processador compatível com arquitetura x64.
Memória RAM recomendada de 4 GB ou superior.

Descrição do software

O GNU Octave é um ambiente de computação numérica de código aberto amplamente utilizado para resolução de problemas matemáticos, científicos e de engenharia. Compatível com grande parte da sintaxe do MATLAB, possui um conjunto de funções voltadas para álgebra linear, processamento de sinais, controle de sistemas, otimização e análise numérica. Por meio do pacote Control, o Octave permite modelar sistemas dinâmicos, obter funções de transferência, discretizar modelos contínuos, analisar estabilidade, calcular polos e zeros e simular respostas temporais, constituindo uma ferramenta adequada para o ensino e o projeto de sistemas de controle digitais.

Atividade Prática

Introdução

Os sistemas de controle digitais são implementados em dispositivos computacionais, como microcontroladores, CLPs e computadores industriais, os quais processam informações em instantes discretos de tempo. Entretanto, a maioria dos processos físicos apresenta comportamento contínuo, tornando necessária a conversão dos modelos contínuos para modelos discretos antes da implementação do controlador.

Essa conversão é denominada discretização de sistemas e representa uma etapa fundamental no desenvolvimento de controladores digitais. A discretização preserva, dentro de determinadas aproximações, as características dinâmicas do sistema contínuo, permitindo que algoritmos de controle sejam executados em intervalos regulares de amostragem.

Nesta atividade prática será utilizado o GNU Octave para modelar um sistema contínuo, convertê-lo para o domínio discreto utilizando diferentes métodos de discretização e comparar os resultados obtidos. Além da discretização, serão analisadas as respostas temporais, a localização dos polos e zeros e a influência do período de amostragem sobre o comportamento dinâmico do sistema.

Ao final da atividade, o estudante compreenderá como a escolha do método de discretização e do tempo de amostragem influencia diretamente o desempenho de sistemas de controle digitais.

Atividade proposta

Modelar um sistema contínuo, realizar sua discretização utilizando diferentes métodos disponíveis no Octave e analisar as diferenças entre as respostas temporais e as características dinâmicas dos modelos obtidos.

Objetivos

Compreender o processo de discretização de sistemas contínuos;
Modelar sistemas dinâmicos por meio de funções de transferência;
Aplicar diferentes métodos de discretização utilizando o Octave.

Procedimentos para a realização da atividade

Considere o sistema contínuo representado pela função de transferência:

G(s) = 5 / (s² + 4s + 5)

Esse sistema representa uma planta de segunda ordem, utilizada em diversos problemas de controle. O objetivo desta atividade consiste em comparar diferentes métodos de discretização e analisar a influência do período de amostragem sobre a resposta dinâmica.

Etapa 1: Declarando a função de transferência

Abra o GNU Octave.(https://octave-online.net/). Na janela Command Window declare a função de transferência contínua utilizando os comandos abaixo.

num = [5];
den = [1 4 5];
Gs = tf(num,den)

Observe como o Octave representa matematicamente o sistema.

Etapa 2: Obtendo os polos

Determine os polos do sistema contínuo.

pole(Gs)

Anote os valores obtidos.

Etapa 3: Obtendo os zeros

Determine os zeros do sistema.

zero(Gs)

Observe se o sistema possui zeros.

Etapa 4: Resposta ao degrau

Simule a resposta ao degrau do sistema contínuo.

figure
step(Gs)
grid on
title("Sistema contínuo")

Observe o comportamento da resposta.

Etapa 5: Discretização utilizando retenção de ordem zero (ZOH)

Considere um período de amostragem igual a T = 0.1 s

Realize a discretização utilizando retenção de ordem zero.

T = 0.1;
Gz_zoh = c2d(Gs,T,"zoh")

Etapa 6: Discretização utilizando Tustin

Agora discretize o mesmo sistema utilizando o método bilinear (Tustin).

Gz_tustin = c2d(Gs,T,"tustin")

Compare os coeficientes encontrados.

Etapa 7: Comparação das respostas

Represente no mesmo gráfico

• sistema contínuo
• sistema discretizado por ZOH
• sistema discretizado por Tustin

figure
step(Gs)
hold on
step(Gz_zoh)
hold on
step(Gz_tustin)
grid on
h = findall(gca,"type","line");
set(h(1),"color","b","linewidth",1)
set(h(2),"color","r","linewidth",1)
set(h(3),"color","g","linewidth",1)
legend("Contínuo","ZOH","Tustin")

Etapa 8: Comparação dos polos

Determine os polos dos dois modelos discretos.

pole(Gz_zoh)
pole(Gz_tustin)

Compare com o sistema contínuo.

Etapa 9: Comparação dos zeros

Determine os zeros.

zero(Gz_zoh)
zero(Gz_tustin)

Etapa 10: Influência do tempo de amostragem

Repita a discretização utilizando T = 0.5 s e T=1 s

Etapa 11: Mapa de polos e zeros

Utilize o comando abaixo para representar graficamente os polos e zeros.

figure
pzmap(Gs)
grid on
title("Sistema contínuo")

Repita para os modelos discretos.

figure
pzmap(Gz_zoh)
grid on
title("Sistema discreto")

Etapa 12: Comparação dos resultados

Compare os resultados obtidos para os diferentes métodos de discretização e períodos de amostragem, analisando as diferenças observadas entre os sistemas contínuo e discretos quanto à resposta temporal e à localização dos polos e zeros.

Avaliando os Resultados

Ao final da atividade, o estudante deverá elaborar um relatório contendo:

a função de transferência contínua utilizada;
os modelos discretos obtidos para cada método;
os gráficos das respostas ao degrau;
os polos e zeros encontrados;
uma análise comparativa entre os diferentes métodos de discretização;
uma discussão sobre a influência do período de amostragem no comportamento do sistema..

Checklist

✓ Declarar a função de transferência contínua;
✓ Determinar polos e zeros do sistema;
✓ Simular a resposta ao degrau do sistema contínuo;
✓ Discretizar utilizando o método ZOH;
✓ Discretizar utilizando o método de Tustin;
✓ Comparar as respostas temporais;
✓ Comparar polos e zeros;
✓ Repetir a discretização para diferentes períodos de amostragem;
✓ Elaborar o relatório contendo a análise dos resultados.

Estudante, você deverá entregar:

Ao final dessa aula prática, você deverá enviar um arquivo em word contendo as informações obtidas no experimento, os cálculos realizados, em conjunto com um texto conclusivo a respeito das informações obtidas. O arquivo não pode exceder o tamanho de 2Mb.

Referências bibliográficas ABNT (quando houver).

Referências

ANGÉLICO, B. A; NEVES, G. P. Controle digital aplicado. São Paulo: Blücher, 2023.

AULA PRÁTICA 2 — MODELAGEM E CONTROLE DE SISTEMAS AVANÇADOS

Disciplina: Modelagem e controle de sistemas avançados
ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 2
Unidade: Controle digital em espaço de estados.
Aula: 6 – Controle digital por variáveis de estado

Software Octave

Acesso on-line
Livre

Infraestrutura

Computador com sistema operacional Windows 10, Windows 11, Linux ou macOS.
Processador compatível com arquitetura x64.
Memória RAM recomendada de 4 GB ou superior.

Descrição do software

O GNU Octave é um ambiente de computação numérica de código aberto amplamente utilizado para resolução de problemas matemáticos, científicos e de engenharia. Compatível com grande parte da sintaxe do MATLAB, possui um conjunto de funções voltadas para álgebra linear, processamento de sinais, controle de sistemas, otimização e análise numérica. Por meio do pacote Control, o Octave permite modelar sistemas dinâmicos, obter funções de transferência, discretizar modelos contínuos, analisar estabilidade, calcular polos e zeros e simular respostas temporais, constituindo uma ferramenta adequada para o ensino e o projeto de sistemas de controle digitais.

Atividade Prática

Introdução

Os sistemas representados em espaço de estados constituem uma das principais ferramentas para análise e projeto de sistemas de controle modernos. Diferentemente da representação por funções de transferência, a modelagem em espaço de estados permite descrever sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas, além de facilitar a análise de propriedades importantes, como estabilidade, controlabilidade e observabilidade.

Uma das principais vantagens dessa representação é a possibilidade de projetar controladores por realimentação de estados, técnica amplamente empregada em sistemas industriais, robótica, aeronaves, veículos autônomos e processos químicos. Nessa abordagem, todos os estados do sistema são utilizados para calcular a ação de controle, permitindo modificar diretamente a dinâmica da planta por meio da realocação dos polos do sistema.

Nesta atividade prática será utilizado o GNU Octave para modelar um sistema linear em espaço de estados, analisar suas propriedades estruturais e projetar um controlador utilizando o método de alocação de polos. Ao final da atividade, serão comparadas as respostas do sistema antes e após a aplicação da realimentação de estados, permitindo avaliar os efeitos do controlador sobre o desempenho dinâmico da planta.

Atividade proposta

Modelar um sistema linear em espaço de estados no GNU Octave, analisar suas propriedades dinâmicas e projetar um controlador por realimentação de estados utilizando a técnica de alocação de polos.

Objetivos

Representar um sistema por meio das matrizes A, B, C e D;
Construir modelos em espaço de estados utilizando o GNU Octave;
Analisar a estabilidade por meio dos autovalores do sistema.

Procedimentos para a realização da atividade

Etapa 1: Orientações

Considere o modelo linearizado de um sistema de dois reservatórios interligados, representado pelo seguinte modelo em espaço de estados:

A = [-0.35 0.15;
     0.10 -0.40];
B = [1; 0];
C = [1 0];
D = 0;

Essas matrizes representam a dinâmica de um sistema de dois estados, cuja resposta será analisada ao longo desta atividade.

Etapa 2: Declarando o modelo em espaço de estados

Abra o GNU Octave.(https://octave-online.net/). Na janela Command Window declare a função de transferência contínua utilizando os comandos abaixo. Digite as matrizes do sistema e construa o modelo utilizando a função ss().

A = [-0.35 0.15;
     0.10 -0.40];
B = [1; 0];
C = [1 0];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D)

Observe como o Octave apresenta o modelo em espaço de estados.

Etapa 3: Determinação dos autovalores

Determine os autovalores da matriz A.

eig(A)

Analise os valores obtidos.

Etapa 4: Verificação da controlabilidade

Calcule a matriz de controlabilidade do sistema.

Co = ctrb(A,B)

Determine seu posto.

rank(Co)

Verifique se o sistema é completamente controlável.

Etapa 5: Verificação da observabilidade

Calcule a matriz de observabilidade.

Ob = obsv(A,C)

Determine seu posto.

rank(Ob)

Verifique se todos os estados podem ser observados.

Etapa 6: Resposta ao degrau do sistema original

Simule a resposta ao degrau do sistema sem controlador.

figure
step(sys)
grid on
title("Sistema Original")

Observe o comportamento da resposta temporal.

Etapa 7: Projeto do controlador por alocação de polos

Considere que se deseja posicionar os polos do sistema nas posições

p = {-2 -3}

Utilize o comando abaixo.

P = [-2 -3];
K = place(A,B,P)

Observe os ganhos calculados pelo Octave.

Etapa 8: Construção do sistema controlado

Implemente a realimentação de estados.

Acl = A - B*K;
sysc = ss(Acl,B,C,D)

Etapa 9: Comparação das respostas

Compare o sistema original com o sistema controlado.

figure
step(sys)
hold on
step(sysc)
grid on
legend("Sistema Original","Sistema Controlado")

Analise as diferenças entre as respostas.

Etapa 10: Comparação dos autovalores

Determine os autovalores do sistema controlado.

eig(Acl)

Compare os resultados obtidos com os autovalores do sistema original.

Etapa 11: Alterando os polos do controlador

Projete um novo controlador considerando os polos P = [-5 -6]

P = [-5 -6];
K2 = place(A,B,P);
Acl2 = A - B*K2;
sys2 = ss(Acl2,B,C,D);

Compare as respostas.

figure
step(sys)
hold on
step(sysc)
hold on
step(sys2)
grid on
legend("Original","P=[-2 -3]","P=[-5 -6]")

Observe como a alteração da posição dos polos modifica a dinâmica do sistema.

Avaliando os Resultados

Ao final da atividade prática, o estudante deverá obter:

o modelo em espaço de estados do sistema;
os autovalores da matriz A;
a matriz de controlabilidade e seu posto;
a matriz de observabilidade e seu posto;
a resposta ao degrau do sistema original;
os ganhos do controlador obtidos pelo método de alocação de polos.

Checklist

✓ Declarar as matrizes A, B, C e D;
✓ Construir o modelo em espaço de estados;
✓ Determinar os autovalores do sistema;
✓ Verificar a controlabilidade;
✓ Verificar a observabilidade;
✓ Simular a resposta ao degrau do sistema original;
✓ Projetar o controlador por alocação de polos;
✓ Construir o sistema em malha fechada;
✓ Comparar as respostas antes e após a realimentação de estados;
✓ Avaliar a influência da escolha dos polos sobre a resposta dinâmica do sistema.

Estudante, você deverá entregar:

Ao final dessa aula prática, você deverá enviar um arquivo em word contendo as informações obtidas no experimento, os cálculos realizados, em conjunto com um texto conclusivo a respeito das informações obtidas. O arquivo não pode exceder o tamanho de 2Mb.

Referências bibliográficas ABNT (quando houver).

Referências

ANGÉLICO, B. A; NEVES, G. P. Controle digital aplicado. São Paulo: Blücher, 2023.

AULA PRÁTICA 3 — MODELAGEM E CONTROLE DE SISTEMAS AVANÇADOS

Disciplina: Modelagem e controle de sistemas avançados
ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 3
Unidade: Controle digital em espaço de estados.
Aula: 7 – Controle Ótimo

Software Octave

Acesso on-line
Livre

Infraestrutura

Computador com sistema operacional Windows 10, Windows 11, Linux ou macOS.
Processador compatível com arquitetura x64.
Memória RAM recomendada de 4 GB ou superior.

Descrição do software

O GNU Octave é um ambiente de computação numérica de código aberto amplamente utilizado para resolução de problemas matemáticos, científicos e de engenharia. Compatível com grande parte da sintaxe do MATLAB, possui um conjunto de funções voltadas para álgebra linear, processamento de sinais, controle de sistemas, otimização e análise numérica. Por meio do pacote Control, o Octave permite modelar sistemas dinâmicos, obter funções de transferência, discretizar modelos contínuos, analisar estabilidade, calcular polos e zeros e simular respostas temporais, constituindo uma ferramenta adequada para o ensino e o projeto de sistemas de controle digitais.

Atividade Prática

Introdução

Neste roteiro, o estudante aprenderá a projetar um controlador ótimo utilizando o método Linear Quadratic Regulator (LQR). Diferentemente da alocação de polos, em que o projetista escolhe diretamente a posição dos polos do sistema, o controlador LQR determina automaticamente os ganhos de realimentação a partir da minimização de uma função de custo que considera simultaneamente o desempenho dinâmico do sistema e o esforço de controle.

Essa abordagem é amplamente empregada em aplicações industriais, robótica, sistemas aeroespaciais, veículos autônomos e processos de controle avançado, devido à sua capacidade de produzir respostas rápidas, estáveis e energeticamente eficientes.

Nesta atividade será utilizado o GNU Octave para implementar um controlador LQR em um sistema representado em espaço de estados, comparar sua resposta com o sistema original e analisar a influência das matrizes de ponderação Q e R sobre o desempenho do sistema.

Atividade proposta

Projetar um controlador ótimo utilizando o método Linear Quadratic Regulator (LQR) e analisar a influência das matrizes de ponderação sobre a resposta dinâmica do sistema.

Objetivos

Compreender o princípio de funcionamento do controlador LQR;
Implementar controladores ótimos no GNU Octave;
Projetar controladores utilizando diferentes matrizes de ponderação.

Procedimentos para a realização da atividade

Etapa 1: Orientações

Considere o modelo linearizado de um sistema de dois reservatórios interligados, representado pelo seguinte modelo em espaço de estados:

A = [-0.35 0.15;
     0.10 -0.40];
B = [1; 0];
C = [1 0];
D = 0;

Essas matrizes representam a dinâmica de um sistema de dois estados, cuja resposta será analisada ao longo desta atividade.

Etapa 2: Declarando o modelo em espaço de estados

Abra o GNU Octave.(https://octave-online.net/). Na janela Command Window declare a função de transferência contínua utilizando os comandos abaixo. Digite as matrizes do sistema e construa o modelo utilizando a função ss().

A = [-0.35 0.15;
     0.10 -0.40];
B = [1; 0];
C = [1 0];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D)

Observe como o Octave apresenta o modelo em espaço de estados.

Etapa 3: Resposta do sistema original

Antes de projetar o controlador ótimo, é importante analisar o comportamento do sistema original. Para isso, simule sua resposta ao degrau.

figure
step(sys)
grid on
title("Sistema Original")

Esse gráfico servirá como referência para comparação com os sistemas controlados nas próximas etapas.

Etapa 4: Projeto do controlador LQR

O controlador LQR busca minimizar uma função de custo composta por dois termos: um relacionado aos estados do sistema e outro ao esforço de controle. Inicialmente, considere pesos iguais para todos os estados e para o sinal de controle.

Q = eye(2);
R = 1;
K = lqr(A,B,Q,R)

Observe os ganhos calculados automaticamente pelo Octave.

Etapa 5: Construção do sistema controlado

Utilize os ganhos obtidos para construir o novo sistema em malha fechada.

Acl = A-B*K;
sysLQR = ss(Acl,B,C,D)

O modelo obtido representa o sistema já controlado pelo regulador ótimo.

Etapa 6: Comparação entre o sistema original e o sistema controlado

Compare as respostas ao degrau dos dois sistemas.

figure
step(sys)
hold on
step(sysLQR)
grid on
legend("Sistema Original","Sistema Controlado (LQR)")

Analise visualmente as diferenças entre as respostas.

Etapa 7: Alterando a matriz Q

A matriz Q define a importância atribuída aos estados do sistema durante o processo de otimização. Quanto maiores seus valores, maior será a penalização dos desvios dos estados.

Altere a matriz Q conforme indicado.

Q = [10 0;
     0 10];
R = 1;
K2 = lqr(A,B,Q,R)

Observe como os ganhos do controlador são modificados.

Etapa 8: Comparando diferentes valores de Q

Construa o novo sistema controlado e compare sua resposta com a obtida anteriormente.

Acl2 = A-B*K2;
sys2 = ss(Acl2,B,C,D);
figure
step(sys)
hold on
step(sysLQR)
hold on
step(sys2)
grid on
legend("Original","Q = I","Q = 10I")

Analise como a alteração da matriz Q influencia o comportamento do sistema.

Etapa 9: Alterando a matriz R

A matriz R representa a penalização aplicada ao esforço de controle. Valores maiores tendem a produzir ações de controle mais suaves. Considere agora:

Q = eye(2);
R = 10;
K3 = lqr(A,B,Q,R)

Observe novamente os ganhos obtidos.

Etapa 10: Comparando diferentes valores de R

Construa o novo sistema e compare todas as respostas obtidas.

Acl3 = A-B*K3;
sys3 = ss(Acl3,B,C,D);
figure
step(sys)
hold on
step(sysLQR)
hold on
step(sys3)
grid on
legend("Original","R = 1","R = 10")

Verifique como o aumento da penalização sobre o esforço de controle modifica a resposta dinâmica.

Etapa 11: Comparação dos autovalores

Determine os autovalores do sistema original e dos sistemas controlados.

eig(A)
eig(A-B*K)
eig(A-B*K2)
eig(A-B*K3)

Compare os resultados obtidos e verifique como a alteração das matrizes de ponderação modifica a localização dos polos do sistema em malha fechada.

Avaliando os Resultados

Com base nos gráficos obtidos e nos autovalores calculados, compare os diferentes projetos de controle ótimo desenvolvidos nesta atividade. Avalie a influência das matrizes Q e R sobre a velocidade de resposta, o amortecimento e o esforço de controle do sistema, discutindo as vantagens e limitações de cada configuração.

Checklist

✓ Declarar as matrizes A, B, C e D do sistema;
✓ Construir o modelo em espaço de estados utilizando a função ss();
✓ Simular a resposta ao degrau do sistema original;
✓ Projetar um controlador ótimo utilizando a função lqr();
✓ Construir o sistema em malha fechada com o controlador LQR;
✓ Comparar as respostas do sistema original e do sistema controlado;
✓ Alterar a matriz de ponderação Q e analisar sua influência sobre os ganhos do controlador e a resposta dinâmica;
✓ Alterar a matriz de ponderação R e analisar sua influência sobre os ganhos do controlador e a resposta dinâmica;
✓ Comparar os autovalores dos diferentes sistemas controlados.

Estudante, você deverá entregar:

Ao final dessa aula prática, você deverá enviar um arquivo em word contendo as informações obtidas no experimento, os cálculos realizados, em conjunto com um texto conclusivo a respeito das informações obtidas. O arquivo não pode exceder o tamanho de 2Mb.

Referências bibliográficas ABNT (quando houver).

Referências

ANGÉLICO, B. A; NEVES, G. P. Controle digital aplicado. São Paulo: Blücher, 2023.

AULA PRÁTICA 4 — MODELAGEM E CONTROLE DE SISTEMAS AVANÇADOS

Disciplina: Modelagem e controle de sistemas avançados
ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 4
Unidade: Controle digital em espaço de estados.
Aula: 8 – Robustez

Software Octave

Acesso on-line
Livre

Infraestrutura

Computador com sistema operacional Windows 10, Windows 11, Linux ou macOS.
Processador compatível com arquitetura x64.
Memória RAM recomendada de 4 GB ou superior.

Descrição do software

O GNU Octave é um ambiente de computação numérica de código aberto amplamente utilizado para resolução de problemas matemáticos, científicos e de engenharia. Compatível com grande parte da sintaxe do MATLAB, possui um conjunto de funções voltadas para álgebra linear, processamento de sinais, controle de sistemas, otimização e análise numérica. Por meio do pacote Control, o Octave permite modelar sistemas dinâmicos, obter funções de transferência, discretizar modelos contínuos, analisar estabilidade, calcular polos e zeros e simular respostas temporais, constituindo uma ferramenta adequada para o ensino e o projeto de sistemas de controle digitais.

Atividade Prática

Introdução

Os controladores desenvolvidos durante o projeto de sistemas de controle são normalmente obtidos a partir de modelos matemáticos que representam o comportamento da planta. Entretanto, na prática, esses modelos nunca representam perfeitamente o sistema real, pois estão sujeitos a incertezas decorrentes de simplificações da modelagem, variações nos parâmetros físicos, envelhecimento de componentes, mudanças nas condições de operação e perturbações externas.

Nesse contexto, surge o conceito de robustez, que representa a capacidade de um controlador manter a estabilidade e um desempenho satisfatório mesmo quando ocorrem variações nos parâmetros do sistema. Assim, além de controlar adequadamente o modelo nominal, espera-se que o controlador seja capaz de suportar pequenas incertezas sem comprometer significativamente o comportamento da planta.

Nesta atividade prática será analisado o desempenho de um controlador LQR frente a diferentes variações nos parâmetros do sistema. Utilizando o GNU Octave, serão comparadas as respostas temporais do sistema nominal e de modelos perturbados, permitindo avaliar qualitativamente a robustez do controlador projetado.

Atividade proposta

Analisar o comportamento de um sistema controlado por um regulador linear quadrático (LQR) quando submetido a diferentes variações paramétricas, avaliando sua estabilidade e desempenho frente às incertezas do modelo.

Objetivos

Compreender o conceito de robustez em sistemas de controle;
Analisar a influência de incertezas paramétricas sobre sistemas dinâmicos;
Avaliar a estabilidade do sistema frente às perturbações.

Procedimentos para a realização da atividade

Etapa 1: Orientações

Considere o modelo linearizado de um sistema de dois reservatórios interligados, representado pelo seguinte modelo em espaço de estados:

A = [-0.35 0.15;
     0.10 -0.40];
B = [1; 0];
C = [1 0];
D = 0;

Essas matrizes representam a dinâmica de um sistema de dois estados, cuja resposta será analisada ao longo desta atividade.

Etapa 2: Declarando o modelo em espaço de estados

Abra o GNU Octave.(https://octave-online.net/). Na janela Command Window declare a função de transferência contínua utilizando os comandos abaixo. Digite as matrizes do sistema e construa o modelo utilizando a função ss().

A = [-0.35 0.15;
     0.10 -0.40];
B = [1; 0];
C = [1 0];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D)

Observe como o Octave apresenta o modelo em espaço de estados.

Etapa 3: Projeto do controlador LQR

Projete um controlador ótimo considerando o modelo nominal do sistema. Para isso, utilize as matrizes de ponderação indicadas a seguir.

Q = eye(2);
R = 1;
K = lqr(A,B,Q,R)

Observe os ganhos calculados pelo GNU Octave.

Etapa 4: Construção do sistema nominal controlado

Utilize a matriz de ganhos obtida para construir o sistema em malha fechada.

Acl = A-B*K;
sys_nominal = ss(Acl,B,C,D)

Esse sistema será utilizado como referência para todas as comparações realizadas nas próximas etapas.

Etapa 5: Simulação da resposta do sistema nominal

Simule a resposta ao degrau do sistema controlado.

figure
step(sys_nominal)
grid on
title("Sistema Nominal")

Analise o comportamento apresentado pelo sistema controlado.

Etapa 6: Introduzindo pequenas variações nos parâmetros

Considere agora que os parâmetros do sistema sofreram pequenas alterações devido a incertezas de modelagem. Substitua a matriz A pela matriz apresentada a seguir.

A2 = [-0.40 0.15;
      0.10 -0.45];
Acl2 = A2-B*K;
sys2 = ss(Acl2,B,C,D)

Observe que o controlador permanece exatamente o mesmo. Apenas o modelo do sistema foi alterado.

Etapa 7: Comparação entre sistema nominal e sistema perturbado

Compare as respostas temporais do sistema nominal e do sistema perturbado.

figure
step(sys_nominal)
hold on
step(sys2)
hold on
grid on
legend("Nominal","+15%")

Analise as diferenças observadas entre as duas respostas.

Etapa 8: Aumentando as incertezas

Considere agora uma variação ainda maior nos parâmetros do sistema.

A3 = [-0.50 0.15;
      0.10 -0.55];
Acl3 = A3-B*K;
sys3 = ss(Acl3,B,C,D)

Observe novamente que o controlador utilizado permanece inalterado.

Etapa 9: Comparação entre diferentes níveis de incerteza

Represente, em um mesmo gráfico, o sistema nominal e os dois modelos perturbados.

figure
step(sys_nominal)
hold on
step(sys2)
hold on
step(sys3)
hold on
grid on
legend("Nominal","+15%","+40%")

Compare o comportamento dos três sistemas e identifique as principais diferenças.

Etapa 10: Avaliação da estabilidade

Determine os autovalores dos três sistemas em malha fechada.

eig(Acl)
eig(Acl2)
eig(Acl3)

Verifique se todos permanecem estáveis após as alterações dos parâmetros.

Etapa 11: Resposta à condição inicial

Além da resposta ao degrau, analise a resposta dos sistemas quando submetidos a uma condição inicial diferente de zero.

x0 = [1;
      0];

figure
initial(sys_nominal,x0)
hold on
initial(sys2,x0)
hold on
initial(sys3,x0)
hold on
grid on
legend("Nominal","+15%","+40%")

Observe como as variações dos parâmetros influenciam a evolução natural dos estados.

Avaliando os Resultados

Com base nos gráficos obtidos e nos autovalores calculados, compare o desempenho do controlador para os diferentes modelos analisados. Discuta:

O controlador manteve o sistema estável após as variações dos parâmetros?
As respostas permaneceram semelhantes à resposta nominal?
O aumento das incertezas alterou significativamente a dinâmica do sistema?
O controlador pode ser considerado robusto para as variações analisadas?

Checklist

✓ Carregar o pacote Control do GNU Octave;
✓ Construir o modelo nominal em espaço de estados;
✓ Projetar o controlador LQR para o sistema nominal;
✓ Construir o sistema em malha fechada;
✓ Simular a resposta ao degrau do sistema nominal;
✓ Introduzir variações nos parâmetros do sistema;
✓ Comparar as respostas dos diferentes modelos;
✓ Determinar os autovalores dos sistemas analisados;
✓ Simular a resposta à condição inicial;
✓ Avaliar a estabilidade e o desempenho do controlador frente às incertezas;
✓ Elaborar o relatório contendo os códigos desenvolvidos, os gráficos obtidos e uma análise crítica dos resultados.

Estudante, você deverá entregar:

Ao final dessa aula prática, você deverá enviar um arquivo em word contendo as informações obtidas no experimento, os cálculos realizados, em conjunto com um texto conclusivo a respeito das informações obtidas. O arquivo não pode exceder o tamanho de 2Mb.

Referências bibliográficas ABNT (quando houver).

Referências

ANGÉLICO, B. A; NEVES, G. P. Controle digital aplicado. São Paulo: Blücher, 2023.

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